Análisis de Señales y Sistemas de Comunicación

Determine si los siguientes sistemas LTI son estables y/o causales  Solución a) Estable, causal.  b) No estable, no causal.  c) Estable, no causal.  d) Estable, no causal.  e) Estable, no causal.  f ) Estable, causal.  g) No estable, causal.  La respuesta al escalón s(t) de un sistema LTI es la salida que se obtiene cuando la entrada es un escalón unidad. Demuestre que la respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón, i.e., Solución

En matemáticas y en el procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo. La transformada Z es una herramienta matemática que nos permite trabajar de una forma más cómoda con los sistemas discretos. La transformada Z básicamente asigna a una secuencia discreta {f(k)} una función de variable compleja  del siguiente modo: La transformada Z tiene una serie de ventajas, que nos facilitan mucho el cálculo matemático, y simplifican mucho el trabajar con secuencias. Algunas de sus prop...

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo: “Linear and Time-Invariant”. Podemos desarrollar una relación E/S muy especial (convolución) Conociendo el comportamiento frente a un impulso conocemos todo. Utilidad: Son muy útiles para modelar procesos, analizarlos, predecirlos. Respuesta al impulso Definición de h[n]: Si la entrada de un sistema LTI es un impulso, δ[n], la salida se denomina respuesta al impulso y se denota h[n]. Utilidad: Permite calcular la salida de un LTI frente a cualquier entrada. Representación de una señal arbitraria Sea una señal cualquiera, se puede expresar: En general:

Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2pi.  Solución: i) Calculo de los coeficientes de Fourier. dx Usando el método de integración por partes se tiene: así: Luego el coeficiente es: Por lo tanto, la serie de Fourier es:  En todos los puntos de continuidad la serie converge a f(x) y en los puntos de discontinuidad del tipo   A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: Evaluando en x=0 se tiene: de donde y de aquí

Para una función no periódica  P -->∞ La primera integral que obtiene  F ( ω ) se denomina transformada de Fourier de  f(t ), y la segunda se denomina transformada inversa de Fourier. El cuadrado  f 2 ( t ) nos da una idea de cómo la energía contenida en la onda se distribuye en el tiempo, mientas que  F 2 ( ω ) nos da una idea de como la energía se distribuye en el espectro de frecuencias. Naturalmente, Pulso rectangular Sea un pulso rectangular tal que  f ( t ) es cero excepto en el intervalo [- a,a ] que vale  A , tal como se muestra en la figura La transformada de Fourier de  f ( t ) vale >> syms a t w; >> int('exp(-i*w*t)',t,-a,a) ans =(2*sin(a*w))/w Alternativamente, utilizamos la función  fourier  de MATLAB syms a t; ft=heaviside(t+a)-heaviside(t-a); Fw=fourier(ft); Fw=simplify(Fw) ft=subs(ft,a,1); subplot(2,1,1) ezplot(ft,[-2,2]); ylim([-0.2 1.2]) xlabel('t'); ylabel('f(t)') title('Pulso rectangular') Fw=subs(Fw,...

Las ondas armónicas continuas   que hemos estudiado no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales. El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. Descripción A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria...

La transformada Fourier de una señal unidimensional o función continua  F(x) es una transformación de dicha señal que nos permite calcular la contribución de cada valor de frecuencia a la formación de la señal. La expresión matemática de dicho cálculo es  donde    y la variable   u   que aparece en la función f(u)  representa a las frecuencias. Puede demostrarse además que esta transformación tiene inversa, es decir que dada la función  f(u)   podemos a partir de ella calcular la función f(x) La expresión matemática de dicha transformada inversa es: Estas dos funciones f(x) y f(u) se denominan un par de transformadas de Fourier. En general las funciones con las que trataremos en problemas reales verificarán las condiciones que es necesario imponer para que las expresiones anteriores puedan calcularse. Es importante señalar que aunque las funciones que definen a las imágenes son funciones reales sus transformadas Fourier son funcione...