Reconstrucción de señales

Muchas de las señales de interés practico proceden de fenómenos físicos que son continuos y por tanto las señales que generan son analógicas. Para procesar de forma digital estas señales es necesario convertir la señal al dominio digital, realizar el procesado y posiblemente volver a transformar la señal al dominio continuo. Para procesar dicha información es necesario poder transformar una señal continua a una señal digital, lo cual requiere un proceso de muestreo, el cual se va a estudiar en la siguiente práctica, sin darle profundidad al tema digital. A lo que se refiere el muestro de una señal es, tomar muestras de una señal digital en un intervalo uniforme y que dichas muestras sean periódicas. Para tomar dichas muestras de una señal continua, se cambia la variable t por nT t=nT donde T es el periodo de muestreo y n es un numero entero, el cual va a permitir obtener una secuencia de muestras. Gráficamente se vería el muestreo de una señal de la siguiente manera:

Para poder entender cómo se puede reconstruir una señal a partir de muestras se debe tener presente el teorema de muestreo de Nyquist, quien afirmaba que una señal analógica puede ser reconstruida, sin error, de muestras tomadas en iguales intervalos de tiempo. La razón de muestreo debe ser igual, o mayor, al doble de su ancho de banda de la señal analógica". La teoría del muestreo define que, para una señal de ancho de banda limitado, la frecuencia de muestreo, fm, debe ser mayor que dos veces su ancho de banda medida en Hertz [Hz]. Matemáticamente se expresa el periodo de muestreo como: 

Para poder determinar un numero de muestras conociendo el periodo de muestreo, se usa la siguiente expresión:

Donde:

N es el número de muestras.

T es el periodo de muestreo.

T2-T1 es la duración de la señal que se desea muestras.

Tomando el cambio t=nT se puede reconstruir una señal a partir de sus muestras con la siguiente función:

Esta expresión representa una serie de funciones muestra con una amplitud máxima igual al valor de la señal original donde se está tomando la muestra, y centrado en el segundo donde se toma la muestra. La suma de todas las funciones muestra deben dar una aproximación a la señal original.

Para  poder  obtener  las  muestras  se  aplica  la  definición  de  transformada  de  Fourier  y transformada inversa de Fourier de la siguiente manera:

Dando como resultado final: