Análisis de Señales y Sistemas de Comunicación

By:Cristian Ramos Sánchez

Ejercicios resueltos en libreta  

Dado los ejercicios propuestos por el docente, los cuales se encuentran en plataforma, se intentaron resolver manualmente, a continuación se presentan las imágenes de los ejercicios correspondientes. 

A continuación, se presentan los ejercicios que se resolvieron en las sesiones en línea, acerca de los números complejos.

Ejercicios resueltos mediante la herramienta de MATLAP

A continuación se agrega una imagen de los resultados de los ejercicios anteriores pero ahora utilizando MATLAP para su solución. Primeramente se tuvo que calcular el valor de Z1,Z2,Z3 y Z4, para que posteriormente se realizaran las operaciones correspondientes dependiendo los ejercicios

Fórmula integral de Cauchy y aplicaciones

Dada f, una función holomorfa en un abierto U y sea a un punto del interior de U, entonces f es holomorfa en un disco que rodea al punto a. Si C es la frontera del disco entonces se cumple que

Esta fórmula tan importante, expresa el valor de f en un punto en función de unos valores en la frontera de un disco que rodea al punto. Su demostración, de la cual veremos una introducción, está basada en el Teorema de Cauchy para un abierto convexo:

Demostración de la fórmula integral de Cauchy

Como f es Holomorfa en todo U sea a ∈ U, para a se tiene: 

Así pues debe existir un cierto ϵ > 0  para el cual se tenga si |z-a|<delta

Entonces la función dada por:

Es continua en todo U y holomorfa en todo U-{a}. Su integral de linea en todo camino que rodee al punto a será cero. DATO CURIOSO: esto es ya que se basa en el teorema de Liouville.

Teorema de residuos

El residuo no debe entenderse como un indicador de la existencia de una singularidad, conviene profundizar un poco más. Para ello basta mirar a la integral que lo define. Si f tiene una primitiva en un entorno reducido de a , es claro que dicha integral se anula. Pero vamos a ver enseguida que el recíproco también es cierto. 

En efecto, si Γ es un ciclo en D(a, R) \ {a} , puesto que la serie de Laurent que aparece en (1) converge uniformemente en el conjunto compacto Γ ∗ , podemos escribir

Para k ∈ Z \ {−1} la función z 7→ (z − a) k tiene en C \ {a} la primitiva 

luego su integral sobre Γ se anula y la igualdad anterior se reduce a 

Si Res f(z), a) = 0 , deducimos que f admite una primitiva en el abierto D(a, R) \ {a} , pues su integral sobre cualquier ciclo en dicho abierto es nula. Por tanto, el residuo, nos dice si f tiene o no una primitiva en un entorno reducido de a.